Завдання ІІ туру Всеукраїнської олімпіади з математики 2015/2016 н.р.

                         Кіровоградська обласна державна адміністрація

Управління освіти і науки

Комунальний заклад « Кіровоградський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти імені Василя Сухомлинського

Завдання ІІ туру Всеукраїнської олімпіади з математики

6 клас

1. Два автомобілі знаходяться на одній дорозі на відстані 200 км, один рухається зі швидкістю 60 км/год, а інший – 40 км/год. Через який час відстань між ними може знову стати 200 км? Укажіть всі можливі випадки.

2. У спортивній школі  10 спортсменів різного зросту, а також 10 спортсменів різної ваги. Яку найбільшу за кількістю групу спортсменів гарантовано можна вибрати з цих 20 спортсменів  таким способом, щоб у цій групі всі спортсмени мали водночас різну вагу та зріст?

3. Перше число складає 40% від другого.  Скільки відсотків складає друге число від першого?

 4. Скласти найбільше та найменше чотирицифрові числа з різними цифрами, які діляться на 18.

                              

7 клас

1.     У Тридев'ятому царстві діє закон, за яким кожні два міста мають бути з’єднані між собою окремою дорогою. Після того як цар заснував 5 нових міст, довелося побудувати ще  2015 доріг. Скільки міст стало у Тридев'ятому царстві? Відповідь обґрунтуйте.

2.     Маємо 9 гир вагою 1г, 2г, 3г,…9г. Андрій і Оксана по черзі беруть гирі та кладуть їх на ваги зі стрілкою, не знімаючи попередні. Якщо після чергової гирі стрілка покаже вагу більше 25г, то той, хто поклав цю гирю, програв. Хто може перемогти в цій грі, якщо кожний намагається перемогти, а перший хід робить Андрій?

   3. Відомо, що натуральні числа  n, m такі, що число 5 n +m ділиться     націло на

       5 m +n.  Чи обов’язково n ділиться націло на m?

  4. Одну із сторін прямокутника збільшили на 20%, а другу зменшили на 20%. Як і на скільки відсотків зміниться площа прямокутника?

5.  Знайти два числа, якщо їх сума дорівнює  2285, а при діленні більшого з них на 7 у частці утворюється менше з чисел, а в остачі 5.

8      клас

1. Розв’язати рівняння:–2=0.

2. Нехай a,b,c,d –  різні натуральні числа. На яке найбільше натуральне число обов’язково ділиться націло вираз (a–b)·(a–c)·(a–d)·(b–c)·(b–d)·(c–d).

3. У прямокутному трикутнику АВС катет ВС у два рази більший за катет АС. Точка М ділить гіпотенузу у відношенні  1:2, починаючи від вершини А, точка N- середина ВС. Довести, що М N=АМ.

4. Розкладіть у добуток вираз (x+y–z)( xy–xz–yz)+ xyz.

5. Двоє по черзі кладуть доміно на шахову дошку 19х19 з вирізаною центральною клітинкою таким чином, щоб вони не накладалися. Програє той, хто не може зробити черговий хід. Скласти виграшну стратегію гри.

9 клас

1. Розв’язати нерівність     +

2.Знайдіть усі такі пари нерівних двоцифрових (тобто таких, які не менше від 10) натуральних чисел, якщо сума решти (усіх, крім цих двох) двоцифрових чисел у 50 разів більша від одного з чисел цієї пари.

3. Якщо  день народження товариша помножити на 12, а номер місяця на 31, то сума отриманих добутків дорівнює 170. Коли народився товариш?

4. Бісектриса і висота прямокутного трикутника, що проведені з вершини прямого кута, рівні відповідно 5см, 4см. Обчисліть площу даного прямокутного трикутника.

5. Білка піднімається на стовбур дерева по спіралі, піднімаючись за один виток на 2м. Скільки метрів подолає вона, піднявшись на висоту 8м, якщо обхват стовбура становить 1,5м?

                                             10 клас                                                                                                                                                                                                                                  

1. Два автомобілі одночасно виїхали назустріч один одному з міст А і Б. Через який час після старту вони зустрілися, якщо перший автомобіль досяг міста Б через 9 год після зустрічі, а другий досяг міста А через 4 год після зустрічі?

2. Розв’яжіть нерівність (2х+3)(1-4х)⁴(х-2)³(х+6) <0

3. При якому значенні змінної х дані числа 2х–1, 5х–4, 7х–2 будуть послідовними додатними членами геометричної прогресії?

4. На клітчастому папері зображено прямокутник, сторони якого йдуть по сторонах клітинок. Із цього прямокутника можна вирізати (по сторонах клітинок) 360 квадратів розміром  2х2. Доведіть, що з нього можна вирізати 200 прямокутників розміром 1х7.

5. У запису числа 18! (що є добутком вісімнадцяти чисел 1·2·3·…·18) пропущено одну цифру, яку позначено зірочкою 64023737*5728000. Знайдіть цю цифру.

                                                  11 клас

1. Знайдіть усі такі функції f(х), що визначені на множині дійсних чисел, що для довільних дійсних х,у задовольняють рівність f(ху)=х f(у) +3 f(х) +3.

2. Розв’яжіть нерівність х–2≤.

3. Доведіть, що для будь-якого n > 3 існує n-кутник, у якого ніякі дві діагоналі і ніякі дві сторони не паралельні.

4. У ромбі діагоналі відносяться як 3:4. Обчислити площу ромба, якщо довжина вписаного кола дорівнює 24π.

5. Комісія з 24 чоловік провела 25 засідань, причому на кожному з них були присутні рівно 5 членів комісії. Доведіть, що якісь два члени комісії зустрілися на засіданнях хоча б два рази.